BERFIKIR
MATEMATIKA
Matematika adalah klasifikasi studi dari semua kemungkinan pola. Bahasa
matematika pada umumnya menggunakan simbo-simbol merupakan bahasa universal.
Karena itu pemahaman terhadap simbol-simbol tersebut merupakan persyaratan
utama untuk dapat memahami bahasa matematika. Bahasa matematika disebut juga
bahasa logika dipergunakan untuk komunikasi ilmu.
Suatu konsep adalah suatu ide atau gagasan yang dibentuk dengan memandang
sifat-sifat yang sama dari sekumpulan eksemplar yang cocok. Apabila hanya ada
satu eksemplar saja yang kita temukan maka ide atau gagasan itu kita sebut
fakta. Karena itu fakta lebih sederhana (primitive) daripada konsep. Misalnya:
”2<3” merupakan fakta, sedang ”x<y” merupakan konsep sebab kita dapat
menyebutkan fakta misalnya 1<2.
Apabila suatu ide atau gagasan menghubungkan dua atau lebih konsep, maka
ide atau gagasan itu disebut prinsip. Misalnya penjumlahan dua bilangan real
adalah komutatif dua garis lurus yang tidak sejajar dan terletak dalam satu
bidang datar akan berpotongan di satu titik. Obyek matematika yaitu fakta,
konsep dan prinsip terkait itu dalam sistem. Matematika dikatakan juga sebagai
sekumpulan sistem simbolik abstrak yang saling berkaitan. Misalnya sistem
bilangan bulat dengan tiga himpunan yang mendasarinya:
A = {0,1,2,...,9}
B = {+,-,x,:}
C = {=,<,>,≠, }.
Dari ketiga himpunan A,B dan C dapat disusun sistem abstrak simbolik dengan
mendefinisikan operasi. Disebut sistem matematika , karena yang terbentuk dari
himpunan unsur-unsur, himpunan operasi dan himpunan relasi dengan prosedur
operasi atau aturan-aturan tertentu.
Cara berfikir matematika
Berfikir matematika merupakan kegiatan mental, yang dalam prosesnya selalu
menggunakan abstraksi dan atau generalisasi. Abstraksi merupakan proses untuk
menyimpulkan hal-hal yang sama dari sejumlah obyek atau situasi yang berbeda.
Terdapat dua macam generalisasi.
Pertama: generalisasi primitif, yaitu dari suatu himpunan diperluas menjadi
himpunan yang lain sedemikian hingga himpunan yang pertama tadi menjadi
himpunan bagian dari himpunan yang kedua. Jadi apabila himpunan A menjadi himpunan B dan AB, dikatakan B merupakan generalisasi primitif dari A.
Generalisasi yang kedua adalah
generalisasi matematik. Suattu himpunan B merupakan suatu generalisasi
matematik himpunan A, jika B memuat isomorfisma bayangan A untuk relasi yang
ditetapkan. Jadi himpunan A dan B mungkin saja masing-masing memuat unsur yang
saling berbeda asalkan B memuat bayangan (image) A. Misalnya aljabar BOOL
dengan operasi biner.
Operasi biner ”.” operasi ”+”
x
|
y
|
x.y
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
x
|
y
|
x+y
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
Rangkaian listrik seri dan paralel:
Operasi seri operasi
paralel
x
|
y
|
rangkaian
|
buka
|
buka
|
Buka
|
tutup
|
tutup
|
Tutup
|
Tutup
|
buka
|
Buka
|
buka
|
tutup
|
buka
|
x
|
y
|
rangkaian
|
buka
|
Buka
|
Buka
|
Tutup
|
Tutup
|
Tutup
|
Tutup
|
Buka
|
Tutup
|
buka
|
tutup
|
tutup
|
dari tabel tersebut terdapat kesamaan, yaitu 0 untuk ”buka” dan 1 untuk ”tutup”, kemudian tabel rangkaian seri menjadi tabel multiplikasi ”” dan tabel rangkaian paralel menjadi tabel penjumlahan ”+”.
Relasi dari aljabar BOOL ke rangkaian listrik
Aljabar BOOL
|
Rangkaian
listrik
|
0
|
buka
|
1
|
tutup
|
|
seri
|
+
|
paralel
|
Pada hakekatnya landasan berfikir matematik merupakan kesepakatan-kesepakatan
yang disebut dengan aksioma. Karena matematika landasannya adalah
aksioma-aksioma, maka matematika merupakan sistem aksiomatik. Kumpulan
aksioma-aksioma adalah taat azas (consistent) dan hubungan antar aksioma adalah
saling bebas.
Dalam semua penalaran deduktif,
kesimpulan yang ditarik merupakan akibat logik dari alasan-alasan yang bersifat
umum menjadi bersifat khusus. Penerapan cara berfikir deduktif akan
menghasilkan teorema-teorema. Sebaliknya, penerapan yang diperoleh dari
penalaran induktif bukan berfikir matematik, karena penarikan kesimpulannya
berasal dari alasan-alasan yang bersifat khusus menjadi bersifat umum. Berfikir
deduktif dipergunakan untuk menentukan agar kerangka pemikiran koheren dan
logik.